Fehlschluss beim Spielerfehlschluss

Beim Social Science Research Network (SSRN) müsste ich auch einmal wieder meine Aufsätze aktualisieren bzw. ergänzen. Zum Jahreswechsel wurden dort die „SSRN Top Papers of 2015“ gekürt. Da kann man so manches lernen, auch wenn man nicht alles glauben darf. Herausgreifen möchte ich Nummer 10, „Surprised by the Gambler’s and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers“ von Joshua Benjamin Miller und Adam Sanjurjo.

Die Autoren meinen, eine bisher übersehene Besonderheit bei empirisch beobachtbaren endlichen Folgen von gleichartigen Zufallsereignissen gefunden zu haben, die dann auch die Ergebnisse von anderen Studien z. T. auf den Kopf stellen würde. Der Spielerfehlschluss („Gambler’s Fallacy“) besagt, dass viele Leute bis hin zu professionellen Spielern und Spekulanten fälschlich davon ausgehen, dass Zufallsereignisse wahrscheinlicher würden, wenn sie länger nicht eintraten, bzw. umgekehrt unwahrscheinlicher, wenn sie gerade und auch noch gehäuft auftraten. Wenn ich z. B. mehrfach eine Münze werfe und gerade Kopf kam, sollte nach diesem Fehlschluss jetzt eher Zahl kommen, insbesondere wenn Kopf schon mehrfach hintereinander kam.

Miller/Sanjurjo halten diesen Fehlschluss nicht für richtig, wollen ihn aber damit erklären, dass empirisch bei endlichen, insbesondere kurzen Folgen die zu beobachtende im Gegensatz zur wahren Wahrscheinlichkeit von Kopf tatsächlich kleiner würde, wenn gerade Kopf kam. Sie liefern dafür komplexe Beweise, aber auch ein anschauliches Beispiel (in der Einleitung ihres Beitrags, siehe insbesondere die Tabelle auf S. 5).

Miller/Sanjurjo rechnen vor, dass bei einer fairen Münze, die bei jedem Wurf mit jeweils 50 % Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl anzeigt, und einer Serie von vier Würfen die zu beobachtende Wahrscheinlichkeit, nach einem Kopf wieder Kopf zu sehen, nur bei gut 40 % liegt. Dazu schreiben sie alle 16 möglichen Folgen von Kopf und Zahl bei vier Würfen auf und berechnen jeweils die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass nach Kopf wieder Kopf kommt. Die sich ergebende Durchschnittswahrscheinlichkeit liegt bei Gleichgewichtung dieser Folgen dann eben nur bei gut 40 % und nicht 50 %.

Das hat schließlich auch Implikationen für das Hot-Hand-Phänomen, wonach es z. B. im Sport Erfolgsserien geben soll, bei denen der letzte Erfolg den nächsten wahrscheinlicher macht, während eine solche Annahme bei fairen Münzen ein Fehlschluss wäre. Im Münzbeispiel wäre nach Miller/Sanjurjo eine beobachtete bedingte Wahrscheinlichkeit von 45 % keine Wiederlegung des Hot-Hand-Phänomens, sondern eine Bestätigung.

Vielleicht sollte ich jetzt einen Cliffhanger einbauen und jedem selbst Zeit zum Nachdenken oder erst einmal Nachlesen und Nachrechnen geben. Das ist zumindest spannend und Sie müssen nicht gleich weiterlesen, wie sich dieses Paradox auflösen lässt. Denn ein Paradox ist es schon, wenn die objektive Wahrscheinlichkeit bei 50 % liegt, die beobachtbare Wahrscheinlichkeit jedoch bei 40 % liegen soll.

Die Auflösung ist in diesem Fall ganz trivial. Platz 10 der besten SSRN-Beiträge argumentiert einfach nicht richtig. Wie häufig in diesen Fällen sind die Berechnungen selbst alle korrekt (soweit ich das geprüft habe), aber der Ansatz ist es nicht. Um die bedingte Wahrscheinlichkeit für den Wurf von Kopf nach einem Kopf-Wurf zu berechnen, sind nicht die möglichen Folgen von vier Würfen die relevante Größe, die gleich zu gewichten ist, sondern die einzelnen Wurfereignisse mit Kopf, auf die noch ein Wurf folgt. In den Folgen kann dieses Ereignis einmal, zweimal oder dreimal auftreten (oder keinmal, doch dann ist die Folge ohnehin auszusortieren). Wenn man damit gewichtet bzw. direkt die 24 Ereignisse anschaut, folgt in genau 50 % der Fälle bzw. zwölfmal Kopf. Es gibt keine Differenz zwischen der (angenommenen) objektiven und der zu beobachtenden bedingten Wahrscheinlichkeit. Im Übrigen bin ich nicht als Erster darauf gekommen, sondern habe es nachträglich auch in den ersten beiden Kommentaren gelesen (für die man sich wohl registrieren muss):

Something seems wrong here. There are 24 instances of a head in one of the first three flips of Table 1. Of those, exactly 12 are followed by a head and exactly 12 are followed by a tail. Why would one average the results of the p(H|H) columns, etc? Emil M Friedman

With utmost respect to the authors, I would like to provide possible support for the comment by Emil Friedman, which I believe if correct would suggest that the main statement in the paper’s first paragraph (page 2) is not correct. The result 0.4 stated at the end of that paragraph and computed in the table on page 5, appears to be an approximation of 0.4(047619) = 17/42 = E[P(X_{M,N+1}=H|X_{M,N}=H)] where X_{i,j} is the outcome in row i and column j of the table, and the expectation is with respect to (M,N) uniform on {(i,j): X_{i,j}=H, i in {1,…,16}, j in {1,2,3}}. This is of course not to be confused with P(X_{i,j+1}=H|X_{i,j}=H), which equals 1/2, as I believe Emil Friedman’s comment suggests. Errors are mine. I would welcome any comment or correction. Thank you. John Rulnick

So funktioniert übrigens Wissenschaft recht oft. Jemand versucht sich an besonders spektakulären Thesen. Manchmal klappt das und bringt großen Ruhm, doch häufig scheitert es auch, was der Betreffende hoffentlich rechtzeitig selbst entdeckt. Sonst tun das andere.

5 Gedanken zu „Fehlschluss beim Spielerfehlschluss

  1. Ein typisches Beispiel für mich, was sehr leicht geschehen kann, wenn jemand, der die Grundlagen seiner verwendeten Methoden nicht versteht, sich völlig verrennt.

    Methoden, gerade modellierende, statistische und wahrscheinlichkeitstheoretische liegen heute für jedermann in höchster Komplexität im Internet kostenlos bereit. – Aber wirklich korrekt damit umgehen können die allerwenigsten – gerade im Bereich Sozial- und Politikwissenschaften.

    Es ist ein Jammer. Und dann Platz 10 …

      • Ich schliesse mich mich Herrn Sodenkamp gerne an. – Herr Dilger, leuchten Sie gerne Interessantes aus dem Betrieb der Wirtschafts- und Gesellschaftswissenschaften aus. – Das hat viel mit Politik zu tun …

      • Ja, das hat viel mit Politik zu tun, weshalb ich mich auch fachlich für Politik interessiere, nicht nur als Staatsbürger. Allerdings gibt es wesentliche Unterschiede zwischen Politik und Wirtschaft, vor allem hinsichtlich Gewalt.

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